# | 固有値分解 | 特異値分解 |
---|---|---|
1 |
正方行列 A に対して、以下が成り立つ固有ベクトル\vec{v}と固有値λが存在する。 A\vec{v}=λ\vec{v} |
長方形の行列 M に対して、以下が成り立つ特異ベクトル\vec{u}、\vec{v}と特異値σが存在する。 M\vec{v}=σ\vec{u}、M^{T}\vec{u}=σ\vec{v} |
2 |
固有値を並べた行列をΛとする。 Λ=\begin{pmatrix} λ_{1} & & \\ & v_{2} & \\ & & ... \end{pmatrix} |
特異値を並べた行列をSとする。 S=\begin{pmatrix} σ_{1} & & \\ & σ_{2} & \\ & & ... \end{pmatrix} |
3 |
固有ベクトルを並べた行列をVとする。 V=\begin{pmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ...\end{pmatrix} |
特異ベクトルを並べた行列をU、Vとする。 U=\begin{pmatrix} \vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & ...\end{pmatrix} V=\begin{pmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ...\end{pmatrix} |
4 |
行列で表すと AV=VΛ |
行列で表すと MV=US、M^{T}U=VS^{T} |
5 | A=VΛV^{-1} | M=USV^{-1}、M^{T}=VS^{T}U^{-1} MM^{T}=USV^{-1}VS^{T}U^{-1}=USSU^{-1}=USSU^{T} M^{T}M=VS^{T}U^{-1}USV^{-1}=VSSV^{-1}=VSSV^{T} |
注意点等
- 固有値分解の1でA\vec{v}=λ\vec{v}となってたのが、4でAV=VΛとなっている。特異値分解も1でM\vec{v}=σ\vec{u}となってたのが、4でMV=USとなっている。「固有値分解で、いつのまにλ(Λ)が左から右に移ってる件」に書いたとおり、対角行列であるΛやSは右から掛けないと順序性が保てなくなる。
- 5の式変換には以下の性質(公式)を使っている。
- S^{T}=S
対角行列Sは転置しても変わりません。実際に2にある行列を転置してみれば明らか。 - U^{-1}=U^{T}、V^{-1}=V^{T}
特異ベクトルU、Vは、長さ1で互いに直行する内積≠0のベクトル(これを難しく言うと「正規直交基底を列/行ベクトルとする正規直交行列」と呼ばれるらしいです)なので、逆行列と転置行列が同じになるそうです。この辺りを参考にさせてもらいましたm(_ _)m
- S^{T}=S
- 実際の計算となれば、SS=S^{2}=\begin{pmatrix}
σ_{1}^{2} & & \\
& σ_{2}^{2} & \\
& & ...
\end{pmatrix} なども使うが、対角行列の二乗はシンプルなので計算上問題にならないだろう。
大事なのは、特異値分解で出てくるSSの要素の平方根を取ることでσとなること。なお、特異ベクトルU、Vは、もともと長さ(ノルム)1の特別な行列であり、平方根を取る必要はない。
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