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2020年8月11日火曜日

特異値分解の振り返りとして、固有値分解との比較

特異値分解の理解を深めるために、固有値分解と比較してみた。
#固有値分解特異値分解
1 正方行列 A に対して、以下が成り立つ固有ベクトル\vec{v}と固有値λが存在する。
A\vec{v}=λ\vec{v}
長方形の行列 M に対して、以下が成り立つ特異ベクトル\vec{u}、\vec{v}特異値σが存在する。
M\vec{v}=σ\vec{u}、M^{T}\vec{u}=σ\vec{v}
2 固有値を並べた行列をΛとする。
Λ=\begin{pmatrix} λ_{1} &  & \\ & v_{2} & \\ & & ... \end{pmatrix}
特異値を並べた行列をSとする。
S=\begin{pmatrix} σ_{1} &  & \\ & σ_{2} & \\ & & ... \end{pmatrix}
3 固有ベクトルを並べた行列をVとする。
V=\begin{pmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ...\end{pmatrix}
特異ベクトルを並べた行列をU、Vとする。
U=\begin{pmatrix} \vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & ...\end{pmatrix}
V=\begin{pmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ...\end{pmatrix}
4 行列で表すと
AV=VΛ
行列で表すと
MV=US、M^{T}U=VS^{T}
5 A=VΛV^{-1} M=USV^{-1}、M^{T}=VS^{T}U^{-1} MM^{T}=USV^{-1}VS^{T}U^{-1}=USSU^{-1}=USSU^{T} M^{T}M=VS^{T}U^{-1}USV^{-1}=VSSV^{-1}=VSSV^{T}

注意点等

  • 固有値分解の1でA\vec{v}=λ\vec{v}となってたのが、4でAV=VΛとなっている。特異値分解も1でM\vec{v}=σ\vec{u}となってたのが、4でMV=USとなっている。「固有値分解で、いつのまにλ(Λ)が左から右に移ってる件」に書いたとおり、対角行列であるΛS右から掛けないと順序性が保てなくなる
  • 5の式変換には以下の性質(公式)を使っている。
    1. S^{T}=S
      対角行列Sは転置しても変わりません。実際に2にある行列を転置してみれば明らか。
    2. U^{-1}=U^{T}、V^{-1}=V^{T}
      特異ベクトルU、Vは、長さ1で互いに直行する内積≠0のベクトル(これを難しく言うと「正規直交基底を列/行ベクトルとする正規直交行列」と呼ばれるらしいです)なので、逆行列と転置行列が同じになるそうです。この辺りを参考にさせてもらいましたm(_ _)m
  • 実際の計算となれば、SS=S^{2}=\begin{pmatrix} σ_{1}^{2} &  & \\ & σ_{2}^{2} & \\ & & ... \end{pmatrix} なども使うが、対角行列の二乗はシンプルなので計算上問題にならないだろう。
    大事なのは、特異値分解で出てくるSSの要素の平方根を取ることでσとなること。なお、特異ベクトルU、Vは、もともと長さ(ノルム)1の特別な行列であり、平方根を取る必要はない。

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