固有値分解問題はまず選択肢から見よう

それは\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)を固有値分解せよ、という問題だった。

後述の通り、素直に\(λ\)から\(Λ\)行列を導出し、\(\vec{v}\)から\(V\)行列を求め、その逆行列\(V^{-1}\)を出して、\(A=VΛV^{-1}\)に辿り着いた。そして選択肢を見て仰天！全ての選択肢で\(V\)および\(V^{-1}\)が同じだった！つまり、本問は固有値分解のうち\(Λ\)導出までを問う問題だった！！！
時間を無駄に使ってもうた(；´Д｀)

\(Λ\)の計算

この問題のミソは、行列の1列目に2つ0が含まれていること。 \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ \bbox[orange]{0} & 2 & 0 \\ \bbox[orange]{0} & 0 & 3 \end{pmatrix}\] よって3x3行列でも、\(A-λI\)の行列式にすると\((1-λ)(2-λ)(3-λ)=0\)と大変シンプルになる。速攻で\(λ=1、2、3\)と求まる。
ここで以下の選択肢を見ていれば、いきなり正解(イ)にたどり着くはず。 \[ (ア)\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{-2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix} \\ (イ)\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{-2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix} \\ (ウ)\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{-2} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} \end{pmatrix} \]

\(VΛV^{-1}\)の計算

とはいえ、せっかく\(A=VΛV^{-1}\)までやったのでメモを残しておく。 \[ λ=1の時 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\vec{0}　により、2\vec{v_2}=0,\vec{v_2}=0,\vec{v_3}=0　∴ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ λ=2の時 \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\vec{0}　により、-\vec{v_1}+2\vec{v_2}=0,\vec{v_3}=0　∴ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ λ=3の時 \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\vec{0}　により、-2\vec{v_1}+2\vec{v_2}=0,-\vec{v_2}=0　∴ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 以上からV= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ 逆行列は掃き出し法で\\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ 1行目-2行目\times2により\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ 以上からV^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A=VΛV^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]