特異値分解の検算が上手く出来ていなかった件

こちらの特異値分解の計算で、\(VSSV^{-1}\)に右特異ベクトルや特異値(の二乗)を代入して、もとの\(M^{T}M\)に戻るか？といった検算を行ったが、実際には転記ミスが含まれていたのに、その検算では引っかからなかった。検算できてるようで出来ていない…という怖いお話である。

検証が出来なかった理由は、ゼロが多い特殊な行列だからだろう。
具体的には、\(\bbox[skyblue]{-\frac{2}{\sqrt{6}}}\)を転記ミスで\(\bbox[yellow]{-\frac{1}{\sqrt{6}}}\)として計算していた。
実際には、0が\(\begin{pmatrix}* & * & * \\ * & * & * \\ \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}* & * & \bbox[orange]{0} \\ * & * & \bbox[orange]{0} \\ * & * & \bbox[orange]{0}\end{pmatrix}\)などと並んでおり、丁度転記ミスの箇所を消してしまい、全く計算結果に影響しなかった。 \[ M^{T}M=VSSV^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} }\\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & 0 & \bbox[yellow]{-\frac{1}{ \sqrt{6} }} \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & \bbox[yellow]{-\frac{1}{ \sqrt{6} }} & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}} & \frac{4}{\sqrt{2}} & \bbox[orange]{0} \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & 0 & \bbox[orange]{0} \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & -\frac{4}{\sqrt{2}} & \bbox[orange]{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & \bbox[yellow]{-\frac{1}{ \sqrt{6} }} & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 10 & 8 & 6 \\ 8 & 8 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \] 正しい計算はこちら。結果は同じである。 \[ M^{T}M=VSSV^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} }\\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & 0 & \bbox[skyblue]{-\frac{2}{ \sqrt{6} }} \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0} & \bbox[orange]{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & \bbox[skyblue]{-\frac{2}{ \sqrt{6} }} & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}} & \frac{4}{\sqrt{2}} & \bbox[orange]{0} \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & 0 & \bbox[orange]{0} \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & -\frac{4}{\sqrt{2}} & \bbox[orange]{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & \bbox[skyblue]{-\frac{2}{ \sqrt{6} }} & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 10 & 8 & 6 \\ 8 & 8 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]