【注意!】この記事にはマチガイがあります。敢えて残しています。
E資格では、特異値分解の手計算までは要求されないという。理解を確認するための穴埋めが中心で、計算があったとして行列の計算とか。とは言っても、やってみないことにはしっくり来ないだろう、ということで手計算してみた。(なお、固有値分解は手計算レベルが必要。)
あまりに長くなったので、目次をあとづけ。
- \(MM^{T}\)の行列計算
- \(MM^{T}\)の特異値の二乗(\(σ^2=λ\))
- \(MM^{T}:λ=24\)の時の左特異ベクトル
- \(MM^{T}:λ=4\)の時の左特異ベクトル
- \(MM^{T}\)の特異値分解結果
- \(M^{T}M\)の行列計算
- \(M^{T}M\)の特異値の二乗(\(σ^2=λ\))
- \(M^{T}M:λ=0\)の時の右特異ベクトル
- \(M^{T}M:λ=4\)の時の右特異ベクトル
- \(M^{T}M:λ=24\)の時の右特異ベクトル
- \(M^{T}M\)の特異値分解結果
- 特異値分解の結論\(M\)
\(M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) ←これ、いってみよう!
何にしろ特異値分解のファーストステップは、「特異値分解の振り返りとして、固有値分解との比較」の手順でいうところの「5」から始まる。すなわち、\(MM^{T}=USSU^{-1}\)と\(M^{T}M=VSSV^{-1}\)(これらは長方行列とその転置行列を掛け合わせて正方行列になっている!)を\(A=VΛV^{-1}\)に見なして、固有値分解する。つまり\(MM^{T}、M^{T}M\)の行列計算+固有値分解の問題ということになる。
\(MM^{T}\)の行列計算
実際に計算してみよう。 \[MM^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+4+9 & 3+4+3 \\ 3+4+3 & 9+4+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 14 & 10 \\ 10 & 14 \end{pmatrix} \] ちなみに\(U^{-1}=U^{T}、V^{-1}=V^{T}\)という性質を使用。詳しくは「特異値分解の振り返りとして、固有値分解との比較」まで。
\(MM^{T}\)の特異値の二乗(\(σ^2=λ\))
つまり\(\begin{pmatrix} 14 & 10 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}\)の固有値計算ということになる。つまり、例の\(A\vec{v}=λ\vec{v}\)だから\((A-λI)\vec{v}=0\)となって\(\vec{v}≠0\)より\(|A-λI|=0\)として行列式の計算に持ち込むやつ。 丁寧に書くと\(A-λI=\begin{pmatrix} 14-λ & 10 \\ 10 & 14-λ \end{pmatrix}\)の行列式(2ベクトルが囲む平行四辺形の面積)がゼロとなる。\(A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}のとき、|A|=ad-bc\)を当てはめて(補足へ)、\((14-λ)^{2}-10^{2}=0\)。ここでふと因数分解の公式\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)が思い浮かべば勝ち!\(((14-λ)+10)((14-λ)-10)=0\)となって、\(λ=24、4\)と出る。
\(MM^{T}:λ=24\)の時の左特異ベクトル
さて、\(λ\)を\(A\)に戻そう。 \(λ=24\)の時、\(\begin{pmatrix} -10 & 10 \\ 10 & -10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=0\)。つまり\(v_{1}=v_{2}\)。よって\(\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\)と言いたいところ。固有値ベクトルならこれでも良いのだが、特異ベクトルは①長さ1、②互いに直行、③正則(行列式≠0)という3原則があったので、①から\(\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\)としなければいけません。※補足へ
\(MM^{T}:λ=4\)の時の左特異ベクトル
同様に、\(λ=4\)の時は、\(\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 10 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=0\) → \(v_{1}=-v_{2}\) → \(\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\)
\(MM^{T}\)の特異値分解結果
これでようやく\(MM^{T}=USSU^{-1}\)に戻せる。 \[ SS=\begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\\ U=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\ U^{-1}=U^{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\ MM^{T}=USSU^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] ※補足に検算あり
\(M^{T}M\)の行列計算
さて、実はまだ折り返し地点。\(M^{T}M\)にとりかかる。3x3行列だから、計算は更に面倒。 \[M^{T}M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+9 & 2+6 & 3+3 \\ 2+6 & 4+4 & 6+2 \\ 3+3 & 6+2 & 9+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10 & 8 & 6 \\ 8 & 8 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]
\(M^{T}M\)の特異値の二乗(\(σ^2=λ\))
この行列式がゼロだから、 \[ \begin{vmatrix} 10-λ & 8 & 6 \\ 8 & 8-λ & 8 \\ 6 & 8 & 10-λ \end{vmatrix}\\ =(10-λ)\begin{vmatrix} 8-λ & 8 \\ 8 & 10-λ \end{vmatrix} -8\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 8 & 10-λ \end{vmatrix} +6\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 8-λ & 8 \end{vmatrix}\\ =(10-λ)\big((8-λ)(10-λ)-64\big)-8\big(8(10-λ)-48\big)+6\big(64-6(8-λ)\big)\\ =-λ^3+28λ^2-96λ =-λ(λ^2-28λ-96)\\ =-λ(λ-4)(λ-24)\\ ∴λ=0、4、24 \]
\(M^{T}M:λ=0\)の時の右特異ベクトル
\(λ=0\)の時、 \[ \begin{pmatrix} 10 & 8 & 6 \\ 8 & 8 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0\\ 1行目-2行目により、2v_1-2v_3=0 ∴ v_1=v_3\\ 2行目に代入して、8v_1+8v_2+8v_3=16v_1+8v_2=0 ∴ v_2=-2v_1\\ v_1:v_2:v_3=1:-2:1\\ \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{6} } \\ -\frac{2}{ \sqrt{6} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \](※「\(\frac{1}{ \sqrt{6} }\)?!」と思ったら補足へ)
\(M^{T}M:λ=4\)の時の右特異ベクトル
\(λ=4\)の時、 \[ \begin{pmatrix} 6 & 8 & 6 \\ 8 & 4 & 8 \\ 6 & 8 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0\\ 2行目\times2-1行目により、10v_1+10v_3=0 ∴ v_1=-v_3\\ 2行目に代入して、8v_1+8v_2-8v_1=8v_2=0 ∴ v_2=0\\ v_1:v_2:v_3=1:0:-1\\ \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ 0 \\ -\frac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix} \](※「\(\frac{1}{ \sqrt{2} }\)?!」と思ったら補足へ)
\(M^{T}M:λ=24\)の時の右特異ベクトル
\(λ=24\)の時、 \[ \begin{pmatrix} -14 & 8 & 6 \\ 8 & -16 & 8 \\ 6 & 8 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0\\ 1行目\times2+2行目により、-20v_1+20v_3=0 ∴ v_1=v_3\\ 2行目に代入して、8v_1-16v_2+8v_1=0 ∴ v_1= v_2\\ v_1:v_2:v_3=1:1:1\\ \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } \end{pmatrix} \](※「\(\frac{1}{ \sqrt{3} }\)?!」と思ったら補足へ)
\(M^{T}M\)の特異値分解結果
ついに\(M^{T}M=VSSV^{-1}\)に戻せる。 \[ SS=\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ V=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} }\\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & 0 & -\frac{2}{ \sqrt{6} } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ V^{-1}=V^{T}=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ M^{T}M=VSSV^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} }\\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & 0 & -\frac{2}{ \sqrt{6} } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \] ※補足に検算あり
特異値分解の結論\(M\)
もう一息。\(M=USV^{-1}\)という形にすれば、特異値分解の完成! 注意したいのは、これまで出してきたのは\(S\)ではなく\(SS\)だということ。つまり\(S=\sqrt{S^2}\)の処理が必要。とはいえ、対角行列なので計算はシンプル。 \[ SS=\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ S= \begin{pmatrix} \sqrt{24} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \] ここまで来たらもうパズルみたいなもの。 \[ M=USV^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \] なお、もともとが2行3列の行列だった為、Sも2行3列に変形している。どうしてそれが許容されるのか、実はわかっていない。別の機会に調べたいと思う。 ※補足に検算あり
補足
- \(\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\)は長さ1のベクトルなの?について。ピタゴラスの定理で\(\sqrt{\big(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\big(\frac{1}{\sqrt{2}}})^2=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1\)となる。
- 3次元ベクトルを長さ1にするには?について。ピタゴラスの美しい定理は、これもカバーしてくれる。すなわち\(a^2+b^2+c^2=1\)となれば良いから、\(λ=0\)の時は、 \[ v_1^2+(-2v_1)^2+v_1^2=1\\ 6v_1^2=1\\ v_1^2=\frac{1}{6}\\ v_1=\frac{1}{ \sqrt{6} } \] \(λ=4\)の時は、実は\(v_2=0\)なので2次元になって簡単に算出できるが、念の為3次元式に当てはめてみると、 \[ v_1^2+0^2+(-v_1)^2=1\\ 2v_1^2=1\\ v_1^2=\frac{1}{2}\\ v_1=\frac{1}{ \sqrt{2} } \] \(λ=24\)の時は、 \[ v_1^2+v_1^2+v_1^2=1\\ 3v_1^2=1\\ v_1^2=\frac{1}{3}\\ v_1=\frac{1}{ \sqrt{3} } \]
- 実はこの\(MM^{T}=USSU^{-1}\)の形が模範解答と違って不安になった。模範解答は \[ MM^{T}=USSU^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] と、マイナス(-)の位置が違った為、\(U\)と\(U^{-1}\)が異なるケースだったからだ。心配性を抑えきれず、検算することに。 \[ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{2}}+0 & 0+\frac{4}{\sqrt{2}} \\ \frac{24}{\sqrt{2}}+0 & 0-\frac{4}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{2}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{2}^2} -\frac{4}{\sqrt{2}^2}\\ \frac{24}{\sqrt{2}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{2}^2} +\frac{4}{\sqrt{2}^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{28}{2} & \frac{20}{2} \\ \frac{20}{2} & \frac{28}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 10 \\ 10 & 14 \end{pmatrix} \] これで安心して夜も眠れる…。
- 同じく\(M^{T}M=VSSV^{-1}\)の方も検算しないと眠られへん。 \[ M^{T}M=VSSV^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} }\\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & 0 & -\frac{2}{ \sqrt{6} } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 24 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}} & \frac{4}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ \frac{24}{\sqrt{3}} & -\frac{4}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} \\ \frac{24}{\sqrt{3}^2}-\frac{4}{\sqrt{2}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2} & \frac{24}{\sqrt{3}^2}+\frac{4}{\sqrt{2}^2} \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 10 & 8 & 6 \\ 8 & 8 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \] 今夜は熟睡やわ。
- さぁいよいよ、これで最後。\(M=USV^{-1}\)の検算。 \[ M=USV^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } & \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}+0 & 0+\frac{2}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}+0 & 0-\frac{2}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} } & \frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{6} } & -\frac{2}{ \sqrt{6} } & \frac{1}{ \sqrt{6} } \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}^2}+0 & \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}+0+0 & \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{2}^2}+0 \\ \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{2}^2}+0 & \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}+0+0 & \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}^2}+0 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] ガ〜ン、、、寝られへん…。
- この\(M^{T}M=VSSV^{-1}\)などの検算は、注意が必要→詳細はこちらへ。
- 行列式と平行四辺形の面積の関係は「行列式 |A|=ad-bc の幾何学的意味|Dr. Kano|note」に、とてもわかり易く解説して下さっている。3次元にすれば体積、4次以上は言葉は無いが、要するにそれぞれのベクトルが正則かを図る決定因子(determinant)というわけだ。ゼロじゃなければ、そいつらはカブりがなくてイケてるベクトル集団、といったイメージで捉えている(これは怪しい個人見解なのでオススメできないw)。なお「なぜ行列式を学ぶ? 面積・体積との一致、ヤコビアンへの応用 | 趣味の大学数学」という記事には「変数変換の例で見たように、非線形な関数・変換を対象にしていても、そのふるまいはそれを線形化した関数、すなわち行列によって分析できることがあります。非線形の解くのが難しい問題を、線形、すなわち行列の問題にして解ける場合がある。そんなときに、行列、行列式、もとい線形代数学の理論が役立つ」という興味深い記載があった。このように”ことの本質”を平易に表現して下さると、とても興味が湧いてモチベーションに繋がるm(_ _)m
- 別の機会に、途中まで以下のような計算ミスをしたことがあった(本人用備忘録)。決して対角線には選びまへん。どこか一列を(一行でも良い)選ぶようにっ!! \[ \begin{vmatrix} 10-λ & 8 & 6 \\ 8 & 8-λ & 8 \\ 6 & 8 & 10-λ \end{vmatrix}\\ =(10-λ)\begin{vmatrix} 8-λ & 8 \\ 8 & 10-λ \end{vmatrix} -(8-λ)\begin{vmatrix} 10-λ & 6 \\ 6 & 10-λ \end{vmatrix} +(10-λ)\begin{vmatrix} 10-λ & 8 \\ 8 & 8-λ \end{vmatrix}\\ =対角線に選んでしまったオオマチガイ!! \]
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