固有値分解計算の間違えポイント（備忘録）

\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 6 \end{pmatrix}

の固有値分解の際に、間違えたところ(✕)、怪しかったところ(△)。

間違えたところ(✕)

• \(x_{2}=0\) と出たのに、\(\binom{0}{1}\)としてしまったケアレスミス。
  →こればっかりは指差呼称でもするしかない！
• 【8/11追記】　別の問題で、本来は「\(A\vec{v}=λ\vec{v}\)」のところ「\(λA=λ\vec{v}\)」と書いて悩みまくったケースが出てきた(^^;
  →固有値・固有ベクトルの根本…しっかり理解するべし！

怪しかったところ(△)

• \(4x_{1}=x_{2}\) と出たのに、\(\binom{4}{1}\)としてしまいそうに。もちろん\(\binom{1}{4}\)が正解。
  →これは\(\binom{1}{4}\)や\(\binom{4}{1}\)を代入して検算すると確実に。
• 単純に公式の記憶：\(A ＝ ΛVΛ^{-1}\) なのか \(A ＝ VΛV^{-1}\) なのか。
  →覚え方は、空調でもK-popでも、何でもいい。AVΛVと並べた時の美しさで良さそう。

最後は\(A ＝ VΛV^{-1}\)の検算が大事

\(λ=6\) OR \(2\)　の時の固有ベクトルがそれぞれ \(v_{1}=\binom{1}{4}\)、\(v_{2}=\binom{1}{0}\)。
なお、\(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ ４ & 0 \end{pmatrix}\)の逆行列は、 \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 & 0 \\ 4 & 0 & | & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1-4 \times \frac{1}{4} & 1-0 & | & 1-0 & 0-1 \times \frac{1}{4}\\ 4 & 0 & | & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & | & 1 & -\frac{1}{4}\\ 4 \times \frac{1}{4} & 0 \times \frac{1}{4} & | & 0 \times \frac{1}{4} & 1 \times \frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & | & 1 & -\frac{1}{4}\\ 1 & 0 & | & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 0 & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & | & 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ ∴ 逆行列は、\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4}\\ 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \] 検算は \(VΛV^{-1}\)を計算して\(A\)になればよい。 \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 6+0 & 0+2 \\ 24+0 & 0+0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 24 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0+2 & \frac{6}{4}-\frac{2}{4} \\ 0+0 & \frac{24}{4}+0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \]