分布の期待値？

こういう問題があった。

表(おもて)がでるという事象に1という数値を、裏がでるという事象に0という数値を対応させ、4枚のコインを同時に投げて裏表どちらが出るかという試行を1200回行ったとして、下の表を作った。この表は確率変数と対応する確率との関係を表すものであるから、確率分布の表現の１つといえる。

事象	裏が0枚, 表が4枚	裏が1枚, 表が3枚	裏が2枚, 表が2枚	裏が3枚, 表が1枚	裏が4枚, 表が0枚
確率変数（裏を0、表を1と対応させ和をとった）	4	3	2	1	0
事象が発生した回数	75	300	450	①	75
事象と対応する確率	1/16	②	③	②	⑤
確率変数と事象と対応する確率との積	②	④	④	②	⑥

分布の期待値としてふさわしい選択肢はどれか

「分布の期待値ぃ？聞いたことないなぁ」と不安になったが、要するに「確率変数Xの期待値」と同じ意味らしい。「確率変数Xの期待値」「Xの期待値」「分布の期待値」みな同じ意味とのこと。
12-3. 確率変数の期待値 | 統計学の時間 | 統計WEBのコラムで解説下さっていたm(_ _)m

で念の為、答えは、2。 \[ Σ確率変数✕確率\\ ={}_4C_4✕4✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_3✕3✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_2✕2✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_1✕1✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_0✕0✕ \big(\frac{1}{2})^4\\ =\frac{1✕4}{16}+\frac{4✕3}{16}+\frac{6✕2}{16}+\frac{4✕1}{16}+\frac{1✕0}{16}\\ =2 \]

ちなみに「確率の和は？」という問も合った。

答えは、1。 \[ Σ確率\\ ={}_4C_4✕\big(\frac{1}{2})^4+ {}_4C_3✕\big(\frac{1}{2})^4+ {}_4C_2✕\big(\frac{1}{2})^4+ {}_4C_1✕\big(\frac{1}{2})^4+ {}_4C_0✕\big(\frac{1}{2})^4\\ =\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}\\ =1 \]
「単純に足せばいい」については【高校数学A】「「和事象の確率」の求め方1（加法定理）」が大変わかりやすかった。別にトライイットの回し者ではない。「さすがプロ！解りやすいなぁ」と心底思った。

さらに、ちなみに、\({}_4C_0\)の計算で\(0!\)が出てきて、惑わせる。たとえばこのQAによると

｢ABCDEという5コの中から0コを選んでくる組み合わせ｣は
｢Aを選ばずBを選ばずCを選ばずDを選ばずEも選ばない｣
という
１通り

と解説されていたりします（この解説は\({}_5C_0\)の例）。いいね！とか付いてるので納得する方もいらっしゃるようだが、正直しっくりこない。結局、「階乗の意味と値の一覧。なぜ0の階乗は1になる？｜アタリマエ！」に辿り着いて少し落ち着いた気がする。要するに、数学的に筋を通すには\(0!=1\)とすべき、という話であって、直感的にはわかりにく話ということでいいのだろう。虚数の二乗がマイナス1（\(i^2=-1\)）になる話と同じで、直感的にわかる人の方が稀なはず。

さらに、さらに、ちなみに、\({}_4C_0\)の計算だが、そもそもコンビネーション\(C\)の計算で、中学で習ったとおりにやるとオカシなことになる。
たいていの中学校ではこう習ってるはずだ。例えば\({}_4C_2\)は「分子を4から始めて階乗を2つ並べ、分母は2から始めて階乗を2つ並べる」といったルールだ（4の階乗は本来4✕3✕2✕1なので、4✕3といった形で途中で止めることはしないが、ここでは厳密さよりわかりやすさを重視した）。だから\({}_4C_2=\frac{4✕3}{2✕1}=6\)となる。\({}_4C_4\)もうまくいく。\({}_4C_4=\frac{4✕3✕2✕1}{4✕3✕2✕1}=1\)という具合だ。じゃぁ！といって\({}_4C_0\)も同じようにやろうとすると「分子を4から始めて階乗を0つ並べ、分子は0から始めて階乗を0つ並べる」？！。分子は何が来るのか？分母はゼロになっちゃいそうだぞ。「やっちゃいけない」と言われ続けてきた「ゼロで割る」というやつか？！？！
ゼロの場合だけは、この簡便法では解けないので、公式に戻らなきゃいけない。\({}_mC_n=\frac{m!}{n!(m−n)!}\)に当てはめると、 \[{}_4C_0=\frac{4!}{0!(4−0)!}=\frac{4!}{4!}=1\] ここで上記\(0!=1\)を使ってるわけですね。
ちなみに\({}_0C_0\)もいけちゃいます。 \[{}_0C_0=\frac{0!}{0!(0−0)!}=\frac{0!}{0!}=1\] ま、これはもはや虚数と同じ、空想の世界のレベル。現実社会で普通に生きる凡人には、ほぼ必要とされませんね。宇宙の真理とか追求しちゃう人向けですかねｗ

追記

\[ Σ確率変数✕確率\\ ={}_4C_4✕4✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_3✕3✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_2✕2✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_1✕1✕\big(\frac{1}{2})^4+{}_4C_0✕0✕ \big(\frac{1}{2})^4\\ =\frac{1✕4}{16}+\frac{4✕3}{16}+\frac{6✕2}{16}+\frac{4✕1}{16}+\frac{1✕0}{16}\\ =2 \] 上の式は厳密には下の式のように書くべきだと思った。表（おもて）になる確率と裏になる確率が同じ\(\frac{1}{2}\)だったから問題ないものの、少し捻られたら対応できなくなる。例えば「コインを少し曲げてあるので、表の出る確率は\(\frac{1}{3}\)、裏は\(\frac{2}{3}\)だ」とか言われたら、上の式では対処出来ない。 \[ Σ確率変数✕確率\\ ={}_4C_4✕4✕\big(\frac{1}{2})^4✕\big(\frac{1}{2})^0+{}_4C_3✕3✕\big(\frac{1}{2})^3✕\big(\frac{1}{2})^1+{}_4C_2✕2✕\big(\frac{1}{2})^2\big(\frac{1}{2})^2+\\ 　{}_4C_1✕1✕\big(\frac{1}{2})^1\big(\frac{1}{2})^3+{}_4C_0✕0✕ \big(\frac{1}{2})^0\big(\frac{1}{2})^4\\ =\frac{1✕4}{16}+\frac{4✕3}{16}+\frac{6✕2}{16}+\frac{4✕1}{16}+\frac{1✕0}{16}\\ =2 \]