ロジスティック回帰境界問題をグラフで解く

シグモイド関数をグラフにすると一次関数と似てる

　本稿の結論はこのグラフである。スライダーを動かせば、シグモイド関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{(-(ax+b))}}$と一次関数$f(x)=ax+b$が良く似ていることを体感できる。

		傾き a	切片 b

目次

• シグモイド関数をグラフにすると一次関数と似てる
• 例題001別解
• E資格試験対策として

例題001別解

例題001のようなロジスティック回帰境界問題で、選択肢が与えられる場合、グラフで比較的カンタンに解くことが出来る。「不等号でも素直にax+b[=><]0を解くだけでいい」と書いたものの、不等号の向きに不安を感じなくもない。グラフで解けばスッキリできる。
例題001解説の表２（下表）を満たすグラフを見つければ良い。

表2	X	-4	-1	0	2	4
	σ(x)	>0.5	>0.5	>0.5	<0.5	<0.5
	Y	1	1	1	0	0

下の4つのグラフのうち、$x$がマイナスの領域で$f(x)$が0.5以上、$x=0$でもまだ0.5以上。$x$が2より大きくなって0.5を下回るグラフと言えば、【A】しかないことが確認できる。厳密に見ると、$x=2$付近で$f(x)$が0.5より大きいか微妙だが、このグラフは切片を大きめにとった例だから。重要なのは、4つの選択肢「$①a>0, b>0、②a>0, b<0、③a<0, b>0、④a<0, b<0$」から選べるかであり、形としてどれがありうるかを見れば良いことになる。例題001の場合は以下の選択肢であって$w_0$が切片、$w_1$が傾きに当たるのでBが正解となる。

1. $w_0=0.5, w_1=1$
2. $w_0=0.5, w_1=-1$
3. $w_0=-0.5, w_1=1$
4. $w_0=-0.5, w_1=-1$

	傾き$a<0$	傾き$a>0$
切片 $b>0$	【A】	【B】
切片 $b<0$	【C】	【D】

E資格試験対策として

例題001別解で見てきたように、グラフによる解法は直観的なので、マチガイも少なく、処理時間も早いと思われる。こと不等号問題の場合には、こちらをオススメする。もちろん$ax+b[=><]0$で解くのに慣れてくればそれでも良いが、念の為、グラフもイメージして見直しをすると完璧だ。
但し、一つだけ前提がある。グラフの挙動を記憶することだ。実はこれカンタン。冒頭のグラフのスライダーを動かして「一次関数$y=ax+b$グラフと同じ挙動」ということを頭に刻めばOKだ。aが傾きでbが切片。aが正なら右肩上がり、負なら右肩下がり。bはy軸(x=0)との交点だ。ただ$y=ax+b$がそのまま真っすぐ伸びる直線なのに対して、シグモイド関数は途中からフニャと曲がって、必ず$0 < y <1$に収まるという不思議で素敵な関数というだけ。公式は複雑に見えるが、不安になったら「$y=ax+b$と一緒だろ！」と開き直れば良い。
例題001の備考③に書いた通り、E資格で問われるロジスティック境界問題は、ほとんどに選択肢が設けられ、傾きと切片が①正正、②正負、③負正、④負負の何れに当たるか？を問われる程度ではないか。数学検定ではないから「難しい計算を確実に迅速に」が求められているわけではない。あくまでもロジスティック回帰を実現するのにシグモイド関数がどう働き、又、どう設定すれば思い通りに動くのか。使い方の基本を理解しているかが問われるのだと思う。（多分に推測を含むのでご注意願う）